同余方程与逆元
同余方程与逆元 同余把整数等式推广到模意义下； 裴蜀定理与扩展欧几里得算法则负责判断并构造其中的解。 1 从整数等式到模意义下的等式 普通整数等式要求两个整数完全相同，而同余只关心它们相差多少个模数。 本章主线：同余与剩余类 → 最大公因数与裴蜀定理 → 扩展欧几里得算法 → 一次不定方程 → 线性同余方程 → 乘法逆元 → 中国剩余定理 → 扩展中国剩余定理。 这些内容表面上分别处理方程
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狄利克雷卷积与反演
狄利克雷卷积与反演 狄利克雷卷积把两个数论函数合成为一个新的数论函数； 莫比乌斯反演则负责从因数求和中恢复原函数。 1 从整数乘法到函数乘法 算术基本定理把整数拆成质数幂，积性函数把函数值拆成各个质数幂上的局部贡献。狄利克雷卷积进一步在“因数分解”上定义数论函数之间的乘法。 本章主线：基本数论函数 → 狄利克雷卷积 → 单位元与逆元 → 常见卷积恒等式 → 莫比乌斯反演 → 构造卷积系数 →
数论求和
数论求和 数论求和把按整数逐项枚举的问题，转化为对整除商、数论函数前缀和与卷积系数的批量计算。 1 从卷积变形到高效计算 经过莫比乌斯反演或狄利克雷卷积后，许多题目会化为 ∑d=1Nf(d)⌊nd⌋⌊md⌋\sum_{d=1}^{N} f(d) \left\lfloor\frac nd\right\rfloor \left\lfloor\frac md\right\rfloor d=1∑Nf
大整数质因数分解
大整数质因数分解 Miller–Rabin 负责快速判断一个大整数是否为质数； Pollard–Rho 负责从大合数中随机找到一个非平凡因子。 1 从试除法到随机分解 试除法分解一个整数 nnn 需要枚举到 n\sqrt nn。 当 nnn 接近 101810^{18}1018 时，n\sqrt nn 接近 10910^9109，单次试除已经难以承受。此时需要把“逐个寻找因子”改成： 本
组合数取模
组合数取模 组合数取模的困难不在组合数本身，而在阶乘中的因子能否在当前模数下求逆。 1 从阶乘公式到模意义下的组合数 组合数定义为 (nr)=n!r!(n−r)!,\binom nr=\frac{n!}{r!(n-r)!}, (rn)=r!(n−r)!n!, 其中 0≤r≤n0\le r\le n0≤r≤n。 在普通整数运算中，分母一定能够整除分子；但在模运算中，除法必须转化为乘法逆元。如
旧都的十三星
旧都的十三星 2025-12-21 旧都的十三星 [ 记录 01] 旧都的空气里总是透着一股陈年的寒意，呼吸间带着某种滞后的、旧疾复发般的沉重。 在那张古老的星图索引里，原本应当被点亮的恒星坐标一共有十三处。指尖划过冰冷的石板，赶在旧都的黎明破晓前，我确认并重新激活了其中的九颗星星。这九点连成的微光，在深空中留下了一道极其清晰的特征签名。 我将记录呈给守阁人。对方只是扫了一眼那些重新燃烧的星火，眼
走远以后，我才看见家
走远以后，我才看见家 心理课主题分享稿：“原生家庭如何塑造了我”。 各位同学，大家好。 看到 “原生家庭如何塑造了我” 这个题目时，我想了很久。但家庭留下的东西太多，我一时间很难从某一种教养方式、某一次争吵，或者某一段童年经历说起。 最后，我想到了一个动作，很贴切——离开。 小时候，我们或多或少都想过离家出走。也许只是和父母吵了一架，也许只是被多布置了几张试卷。那时的出走通常走不远，最多走到小
老金？老金。
老金？老金。 我好像真的已经想不起，那天讲的到底是哪个知识点了。 我翻了好几遍笔记，试着随着教材的进度往回找。是极限，是积分，还是某个从教材正文旁边不经意间延伸出去的结论？我始终没有找到。 但我记得，自己问了金老师一个问题。那大概不是教学大纲里必须回答的问题。 他可以说一句“这个以后会学到”，也可以告诉我“这个不在考纲内”，然后接着往下讲。可他没有。课间结束后的下半节课，他照常讲完了课内的内容，又