数学知识体系
数学知识体系
这里整理数学概念本身：它们如何定义，为什么成立，彼此之间有什么结构，以及怎样支撑算法与计算机科学。
0 数学知识的四个层次
整个专题沿着以下层次展开：
数学语言与证明 → 离散结构 → 具体数学分支 → 算法与计算机科学中的应用。
其中：
- 数学语言与证明提供集合、关系、映射、命题和证明方法；
- 离散结构研究图、顺序、运算与代数结构；
- 具体数学分支在这些语言和结构上继续发展数论、组合数学、线性代数等内容；
- 算法应用说明数学结构如何被转化为算法，但具体算法体系仍由
210_Atlas承载。
1 数学语言与证明
这一部分建立描述数学对象和组织推理所需的基础语言。
1.1 集合
研究对象的聚集、集合运算、幂集、笛卡尔积以及集合之间的基本关系。
1.2 关系
研究二元关系、等价关系、集合划分、偏序关系与顺序结构。
它连接：
- 同余关系与剩余类；
- 整除关系与偏序；
- 连通关系与集合划分；
- 算法中的状态关系。
1.3 映射
研究定义域、陪域、值域、像、原像、单射、满射、双射以及映射复合。
数论函数、状态转移、置换和线性映射都可以视为映射。
1.4 命题逻辑与证明方法
整理命题、量词、逻辑等价以及直接证明、逆否证明、反证法、归纳法等基本方法。
这里的目标不是追求形式化证明本身，而是建立判断条件、检查推导和说明算法正确性所需的证明意识。
2 离散结构
这一部分研究可以反复出现在不同数学分支与算法中的通用结构。
2.1 图论的基本数学结构
从顶点、边、路径、连通性和可达性出发，建立图论中的基本对象与关系。
这里负责图论结构本身；具体的最短路、生成树、连通性算法仍进入 210_Atlas。
2.2 代数运算结构
研究二元运算、封闭性、结合律、单位元、逆元、半群、幺半群、群与同态。
它连接：
- 模乘法群；
- 原根与循环群；
- 狄利克雷卷积；
- 矩阵与状态转移；
- 算法中可合并的信息结构。
后续形成成熟内容后，还可以加入置换与循环结构、布尔代数与二进制集合。
3 数论知识体系
数论研究整数及其运算规律。当前数论部分按照以下顺序展开：
整数的乘法结构 → 同余与方程 → 数论函数 → 模指数结构 → 卷积与反演 → 数论求和 → 组合数取模 → 大整数分解。
3.1 整数分解与筛法
从整除、质数与算术基本定理出发，研究因数结构、试除法、埃氏筛与线性筛。
3.2 同余方程与逆元
以整数线性方程为核心，连接裴蜀定理、扩展欧几里得、线性同余方程、乘法逆元、CRT 与 ExCRT。
3.3 数论函数与线性筛
研究积性函数、质数幂上的局部贡献，以及欧拉函数、莫比乌斯函数、因数个数和因数和的线性筛递推。
3.4 模意义下的指数问题
研究剩余系、模乘法群、欧拉降幂、元素的阶、原根、离散对数和二次剩余。
3.5 狄利克雷卷积与反演
把数论函数上的因数求和统一为卷积，并利用莫比乌斯函数从累积信息中恢复原函数。
3.6 数论求和
整理整除分块、 类求和、莫比乌斯反演求和、杜教筛以及狄利克雷卷积求和。
3.7 组合数取模
研究 Lucas、模质数幂的组合数、CRT 合并与 ExLucas。
3.8 大整数质因数分解
研究快速乘、Miller–Rabin、Pollard–Rho 与递归质因数分解。
4 后续数学分支
以下方向将在形成足够成熟的内容后继续展开。
4.1 组合数学
包括计数原理、排列组合、双重计数、鸽巢原理、容斥、生成函数、组合数列与组合反演。
4.2 线性代数
包括向量空间、线性映射、矩阵、线性方程组、秩、行列式、特征值与算法中的线性结构。
4.3 概率与信息
包括概率模型、随机变量、期望、熵与信息论基础。
4.4 连续数学
包括极限、微积分、级数与连续优化所需的数学基础。
5 阅读方式
每篇正文主要回答以下问题：
- 这个概念是什么；
- 它处于怎样的知识链中；
- 它能解决什么问题；
- 核心原理和使用条件是什么；
- 如何转化为算法实现；
- 容易在哪些边界上被误用。
证明保留到足以解释条件、支撑算法和避免误用为止，不追求教材式的形式完备。