数学语言与证明

这一部分提供描述数学对象、表达数学命题和组织推理所需的基础语言。

1 整体主线

集合 → 关系 → 映射 → 命题逻辑与证明方法。

这四篇不是独立的知识点，而是一条逐步加强的语言链：

• 集合说明研究对象由哪些元素组成；
• 关系描述对象之间是否存在某种联系；
• 映射是在关系上加入存在性与唯一性；
• 命题逻辑与证明方法负责准确表达条件并建立结论。

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2.1 集合

集合

研究：

• 元素与集合；
• 子集与幂集；
• 交、并、差、补；
• 集合大小；
• 笛卡尔积。

集合是后续定义关系、映射、图与状态空间的共同起点。

2.2 关系

关系

研究：

• 二元关系；
• 自反、对称、反对称与传递；
• 逆关系与关系复合；
• 等价关系与集合划分；
• 偏序关系与全序。

同余、连通、整除与 DAG 可达性都可以通过关系语言统一描述。

2.3 映射

映射

研究：

• 定义域、陪域和值域；
• 像与原像；
• 单射、满射和双射；
• 映射复合与逆映射；
• 函数图与状态转移。

数论函数、置换和线性映射都建立在映射概念之上。

2.4 命题逻辑与证明方法

命题逻辑与证明方法

研究：

• 命题与逻辑联结词；
• 充分条件与必要条件；
• 全称量词与存在量词；
• 直接证明、逆否证明、反证法与归纳法；
• 不变量、交换论证与算法正确性。

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3 与离散结构的连接

数学语言本身不研究某一种具体结构，而是为后续结构提供统一表达方式。

• 图可以看作顶点集合上的关系；
• 连通分量来自等价关系；
• DAG 可达性形成偏序；
• 自映射可以形成函数图；
• 映射复合与二元运算可以形成代数结构。

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