luogu-p1941-飞扬的小鸟">Luogu-P1941 飞扬的小鸟
1. 题面梗概
中译中: 一个像素小鸟在 N×M 的网格里飞。每秒只能往右走 1 步。你可以点击屏幕让它上升 Xi，或者不点让它下降 Yi。路边有水管（不能碰到）。求最少点几次能通关。
2. 逻辑推导
这题第一眼看过去像是一个搜索或者普通的路径规划。但是，题目给出了很多状态：“坐标”，“点击次数”，“是否要点击”…… 很明显可以使用 DP 来解决。
2.1 状态
既然题目要求最少点几次，那么我们可以定义 f 数组的值为最少点击次数。然后考虑使用什么状态——明显就是坐标啦~
定义：dp[i][j] 表示移动到 (i,j) 位置最少的点击次数。
同时因为每秒往右走一步，所以 i 不止是横坐标，同时也是时间轴，读者可以想想若每秒不止走 1 步的情况呢？
2.2 转移
我们考虑状态如何转移，对于某一个点 (i,j) 来说，我们能做的，只有下面两种操作：
-
点击向上飞，可以点无数次 —— 细品这不是就是完全背包吗？
- 高度 j 是背包容量，点击次数是价值（代价），每次点击上升 Xi，代价为 1。
-
不点击下降 —— 这不就是01背包吗？
- 点和不点，不点就直接从 (i−1,j+Yi) 转移过来。
好，分析完了之后我们需要考虑两者之间的关系，很明显二者是互斥的。如果这一秒点了，那么就不会触发下降效果。
所以我们的解决办法是，先做完全背包更新上升态，再用上一秒的状态处理降落。
2.3 细节
注意到题目给的两个边界情况：天花板和水管。
结论：每一秒先跑一遍完全背包，再修正天花板，再跑一遍 0/1 背包处理下降，最后清理合法区间。
3. 代码实现
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| #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e4 + 50;
const int maxm = 2e3 + 50;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int l[maxn], h[maxn];
bool flag[maxn];
int dp[maxn][maxm];
int x[maxn], y[maxn];
int n, m, k;
int main( )
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cin >> n >> m >> k;
for( int i = 1; i <= n; ++ i )
{
cin >> x[i] >> y[i];
l[i] = 0;
h[i] = m + 1;
flag[i] = 0;
}
for( int i = 1; i <= k; ++ i )
{
int p, _l, _h;
cin >> p >> _l >> _h;
l[p] = _l, h[p] = _h;
flag[p] = 1;
}
memset( dp, 127, sizeof( dp ) );
for( int j = 1; j <= m; ++ j )
{
dp[0][j] = 0;
}
int cnt = 0;
for( int i = 1; i <= n; ++ i )
{
for( int j = x[i] + 1; j <= m; ++ j )
{
dp[i][j] = min( dp[i][j], dp[i-1][j - x[i]] + 1 );
dp[i][j] = min( dp[i][j], dp[i][j - x[i]] + 1 );
}
for( int j = m - x[i]; j <= m; ++ j )
{
dp[i][m] = min( dp[i][m], dp[i][j] + 1 );
dp[i][m] = min( dp[i][m], dp[i-1][j] + 1);
}
for( int j = 1; j <= m; ++ j )
{
dp[i][j] = min( dp[i][j], dp[i-1][ j + y[i] ] );
}
for( int j = 1; j <= l[i]; ++ j ) dp[i][j] = inf;
for( int j = h[i]; j <= m; ++ j ) dp[i][j] = inf;
int mn = inf;
for( int j = 1; j <= m; ++ j )
{
mn = min( mn, dp[i][j] );
}
if( mn == inf )
{
cout << 0 << '\n';
cout << cnt << '\n';
return 0;
}
if( flag[i] ) cnt ++;
}
int ans = inf;
for( int j = 1; j <= m; ++ j )
{
ans = min( ans, dp[n][j] );
}
cout << 1 << '\n';
cout << ans << '\n';
return 0;
}
|
4. 复盘