ABC467G Many Sweets Problem

ABC467 G｜动态区间内最少选取个数

当前状态

暂不补代码，生命周期为 shelved。

这道题的贪心部分不难，真正的门槛是动态二维数据结构。目前已经理解核心查询逻辑，但前置知识和实现能力还不完整，等系统学习相关结构后再回来补题。

核心转化

对于一次询问，在区间 $[l,r]$ 中选择尽量少的元素，使元素和至少为 $k$。

显然应该按照数值从大到小选择。

设区间元素降序排列为

$$v_1 \ge v_2 \ge \cdots \ge v_m,$$

则答案是最小的 $t$，满足

$$\sum_{i=1}^{t} v_i \ge k.$$

因此需要动态维护：

• 单点修改 $A_c \leftarrow x$；

• 查询区间 $[l,r]$ 内较大元素的数量与总和；

• 找到使前若干大元素之和首次达到 $k$ 的临界权值。

查询思路

可以在值域结构上从大到小下降。

对于当前值域节点，先查询较大值一侧在位置区间 $[l,r]$ 中的：

• 元素总和 $sum$；

• 元素数量 $cnt$。

若

$$sum \ge k,$$

说明答案完全位于较大值一侧，继续向该侧下降。

否则，较大值一侧的元素必须全部选择：

$$ans \mathrel{+}=cnt,$$

$$k \mathrel{-}=sum,$$

然后进入较小值一侧。

到达叶子后，设当前权值为 $v$，还需要选择

$$\left\lceil\frac{k}{v}\right\rceil$$

个元素。

数据结构方向

官方题解主要有两种方向：

1. 交换位置与权值后的动态归并树

   外层按权值建立线段树，每个节点内部维护位置维度的数据结构，例如 BIT。

   也可以理解为：

   值域线段树套位置树状数组。

   查询时在值域线段树上贪心下降，复杂度约为

   $$O(\log^2 N).$$

2. 二维根号分治

   同时对位置和值域分块，按照权值块从大到小扫描。

   复杂度约为

   $$O(\sqrt N).$$

当前缺少的前置知识

• 归并树及其动态修改；

• 线段树套树状数组；

• 节点内部坐标离散化；

• 二维分块；

• Wavelet Matrix 的基本思想；

• 动态区间第 $k$ 大及前 $k$ 大元素和。

回补条件

掌握以下任意一个方向后再回来补题：

• 能独立实现动态归并树；

• 能实现值域线段树套位置 BIT；

• 系统学习二维根号分治；

• 掌握支持修改的 Wavelet Matrix。

当前收获

这道题已经识别出两个关键点：

1. 最优选择一定是区间内最大的若干个元素；

2. 查询可以转化为值域上的贪心下降，而不是普通地二分答案。

暂时停止在“理解模型与官方方案”的阶段，不继续投入代码实现成本。

当前生命周期

• 生命周期：shelved。
• 缺失前置：动态区间第 k 大、动态区间前 k 大和，以及值域结构与位置结构的组合。
• 回补条件：至少独立掌握一种支持修改的区间第 k 大或前 k 大和结构。
• 未来方向：动态二维顺序统计。